Hình thoi là một dạng hình học đặc biệt, và việc nắm vững cách chứng minh một tứ giác là hình thoi là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học lớp 8. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết Cách Chứng Minh Hình Thoi, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp bạn củng cố kiến thức.
NỘI DUNG BÀI VIẾT
Phương Pháp Chứng Minh Hình Thoi
Có hai cách chính để chứng minh một tứ giác là hình thoi:
Cách 1: Chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Đây là cách trực tiếp nhất để nhận dạng hình thoi. Nếu ta chứng minh được cả bốn cạnh của một tứ giác có độ dài bằng nhau, thì tứ giác đó chính là hình thoi.
Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình bình hành và có thêm một trong các dấu hiệu sau:
- Hai cạnh kề bằng nhau.
- Hai đường chéo vuông góc với nhau.
- Một đường chéo là đường phân giác của một góc.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Trung điểm bốn cạnh của hình chữ nhật
Chứng minh rằng các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.
Giải:
Xét hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Ta cần chứng minh MNPQ là hình thoi.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC và AB = CD. (1)
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:
AM = MB = CP = PD = AB/2 và AQ = QD = BN = NC = BC/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông MAQ, MBN, PCN, PDQ bằng nhau. Do đó, bốn cạnh tương ứng bằng nhau: MN = NP = PQ = QM. Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Ví dụ 2: Hình thoi và các điểm trên cạnh
Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. AC ⊥ BD tại O theo tính chất về đường chéo của hình thoi. (1)
Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, thu được:
AB = BC = CD = DA; ∠ABO = ∠CBO; ∠ADO = ∠CDO; BE = DF (2)
Xét ΔABE và ΔADF có: AB = AD; ∠ABE = ∠ADF; BE=DF. Suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c). Do đó ∠BAE = ∠DAF.
Mà ∠DAF + ∠BAH = ∠BAD => ∠BAE + ∠BAH = ∠HAG = ∠BAD (3)
Tương tự, ta có ∠HCG = ∠BCD (4)
Từ (2),(3) và (4) => ∠HAG = ∠HCG. Mà ∠HAG + ∠HCG = 180° – ∠AHC
=> ∠HAG = ∠HCG = 90° – ∠AHC/2
=> AO là phân giác của ∠HAG. Do AO ⊥ BD => HO= OG (2)
Mà AO = OC (3) (tính chất hình thoi)
Từ (1), (2) và (3) ta có tứ giác AGCH là hình bình hành có đường chéo AC là phân giác của góc HAG nên nó là hình thoi.
Bài Tập Vận Dụng
Dưới đây là một số bài tập vận dụng giúp bạn củng cố kiến thức về cách chứng minh hình thoi:
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ C đến đường thẳng AB, M là trung điểm của AD, F là chân đường vuông góc kẻ từ M đến CE và MF cắt BC ở N. Tứ giác MNCD là hình gì?
Câu 2. Cho hình bình hành ABCD có DC = 2BC. Gọi E, F là trung điểm của AB, DC. Gọi AF cắt DE tại I, BF cắt CE tại K. Tứ giác AEFD là hình gì?
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D. Tứ giác AMBM’ là hình gì?
(Đáp án: Câu 1: A. Hình thoi; Câu 2: A. Hình thoi; Câu 3: A. Hình thoi)